На доску написали число 123456543. c написанным числом разрешается проделывать следующую операцию. у числа выбираются две соседние ненулевые цифры, из каждой вычитается по единице и выбранные цифры меняются местами. какое наименьшее число может быть получено в результате таких операций?

Имеем число 123456543.
Попробуем проделать требуемую операцию на соседними цифрами 3 и 4:
43 -> 23 -> 21 - > 01
Над какими бы парами цифр мы не проделывали бы такую операция, всегда получали бы 0 и 1 (в зависимости от пары, получали бы 01 или 10).
После получения 01, дальнейшие операции над этими цифрами прекращаются. Если разбить число на пары следующим образом:
1 23 45 65 43, то мы придём к числу 1 01 01 01 01 (101010101).
А теперь замечаем, что при выполнении указанных действий, каждый раз в соответствующей позиции остаётся либо чётная, либо нечётная цифра. В начальном числе чётные и нечётные цифры чередуются:
нчнчнчнчн (н - нечётная, ч - чётная цифра). Минимальное число такого вида - это число 101010101, которое мы и получили ранее.

ответ: 101010101