Даны координаты вершин треугольника abc : a(−5; −7); b(7; −2); c(11; 20). необходимо найти: 1. длину стороны ab; 2. уравнение сторон ab и bc и их угловые коэффициенты; 3. угол ψ между прямыми ab и bc в радианах; 4. уравнение высоты cd и ее длину; 5. уравнение медианы ae и координаты точки k пересечения этой медианы с высотой cd ; 6. уравнение прямой l , которая проходит через точку k параллельно к стороне ab; 7. координаты точки f(xf, yf), которая находится симметрично точке a относительно прямой cd .

Даны координаты вершин треугольника ABC :
A(−5; −7); B(7; −2); C(11; 20).

1. Длина стороны AB = √(7+5)²+(-2+7)²) = √(144+25) = √169 = 13.

2. Уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты.
АВ: (х+5)/(7+5) = (у+7)/(-2+7),
АВ:  (х+5)/12 = (у+7)/5     это каноническое уравнение,
АВ : 5 х  - 12 у - 59 = 0     оно же в общем виде,
АВ: у = (5/12)х - (59/12)   оно же с угловым коэффициентом.
ВС: (х-7)/(11-7) = (у+2)/(20+2),
ВС: (х-7)/4 = (у+2)/22.
ВС: 11х - 2у - 81 = 0.
ВС: у = (11/2)х - (81/2).

3. Угол ψ между прямыми AB и BC в радианах.
Векторы: АВ = (12; 5), ВС = (4; 22).
cos (AB∧BC) = |12*4+5*22|/(√(144+25)*√(16+484)) =  158/ 290,6888 = 0,543537
Этому косинусу соответствует угол 0,996152 радиан или 57,07529°. 

4. Уравнение высоты CD и ее длина.
Уравнение АВ: у = (5/12)х - (59/12) 
Прямая СД имеет угловой коэффициент к = -1/к(АВ).
к(СД) = -1/(5/12) = -12/5.
Уравнение СД: у = (-12/5)х + в.
Для определения параметра в подставим в полученное уравнение координаты точки С:
20 = (-12/5)*11 + в.
в =20+(132/5) = 232/5.
Получаем уравнение СД:
СД: у = (-12/5)х + (232/5).
СД: 12х + 5у - 232 = 0.
Для нахождения длины СД надо определить длины сторон ВС и АС и найти площадь треугольника.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √500 ≈ 22,36067977. 
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √985 ≈ 31,38470965. 
Полупериметр треугольника равен р =  33,37269.
Площадь находим по формуле Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Подставив данные, получаем S = 122.
Тогда высота СД = (2S/AB) = (2*122)/13 =  18,7692.

5. Уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой
медианы с высотой CD. Точки: A(−5; −7), B(7; −2), C(11; 20).
Находим координаты точки Е как середины отрезка ВС:
Е((7+11)/2=9;(-2+20)/2=9)= (9; 9).
Уравнение АЕ: (х+5)/(9+5) = (у+7)/(9+7),
  АЕ: (х+5)/14= (у+7)/16.
  АЕ: 8х - 7у - 9 = 0.
Координаты точки K находим как точку пересечения прямых АЕ и СД.
АЕ: 8х - 7у - 9 = 0.         |x(-4) = -36x + 28y + 36 = 0
СД: 12х + 5у - 232 = 0.  |x(3)  =  36x + 15y - 696 = 0
                                                   
                                                               43y - 660 = 0
  yK = 660/43 =  15,34884,
  xK = (7y + 9)/8 = (7*15,34884 + 9)/8 =   14,55523.

6. Уравнение прямой L , которая проходит через точку K
параллельно к стороне AB.
Уравнение прямой L имеет угловой коэффициент как у стороны АВ:
к = (5/12).
Для определения параметра в подставим в  уравнение координаты точки К:
15,34884 = (5/12)*14,55523 + в.
в = 15,34884 - (5/12)*14,55523 =  9,284157.
Тогда уравнение прямой L имеет вид:
L: у = (5/12)х +  9,284157.

7. Координаты точки F(xF, yF), которая находится симметрично
точке A относительно прямой CD .
Точка F находится на перпендикуляре AF к прямой СД.
k(AF) = -1/k(CD) = -1/(-12/5) = 5/12.
Уравнение AF: у = (5/12)х + в.
Подставим координаты точки А
-7 = (5/12)*(-5) + в.
в = -7 + (25/12) = (-84+25)/12 = -59/12.
Уравнение AF: у = (5/12)х - (59/12).
Надо найти координаты точки Р пересечения прямых AF и CD.
(5/12)х - (59/12) =  (-12/5)х + (232/5).
xР =  18,21893,
yР = 2,674556.
Теперь находим координаты точки F, симметричной точке А относительно точки Р.
xF = 2xP - xA = 2*18.21893 - (-5) =  41,43787,
yF = 2yP - yA = 2*2,674556 - (-7) =  12,34911.