Рассчитать размеры цилиндрического бака для водонапорной башни при условии, состоящем в том, чтобы при заданной полной поверхности s его объём был наибольшим

Из всех геометрических тел с заданной площадью поверхности максимальный объем будет у шара...))
Поскольку задан цилиндр, то, в этом случае, максимальный объем будет у цилиндра с квадратным вертикальным сечением, т.е. R = H/2
Докажем это:
Площадь полной поверхности цилиндра можно вычислить по формуле:
           S = 2πR² + 2πRH  -  Выразим из этой формулы H:
           2πRH = S - 2πR²
           H = (S-2πR²)/2πR

Подставим полученное выражение в формулу вычисления объёма цилиндра:  
                 V = πR²H = πR²(S-2πR²)/2πR = SR/2 - πR³

Найдём максимум этой функции одной переменной. Для этого вычислим производную и приравняем к нулю:
                 V′ = (SR/2 - πR³)′ = S/2 - 3πR²
                 S/2 - 3πR² = 0 
                 R² = S/6π
                 R = √(S/6π)
                 R = -√(S/6π)

Отметим эти значения на координатной прямой и определим знак производной на трёх полученных числовых интервалах: (см. рис.)

Известно, что в точке максимума производная меняет знак с плюса на минус. Соответственно,  максимальный объём цилиндра можно получить, если радиус основания цилиндра будет равен:
                R = √(S/6π)

Максимальный объём цилиндра:
               V = SR/2 - πR³ = R(S/2 - πR²) = √(S/6π) *(S/2 - S/6) =
                  = √(S/6π) * S/3 

Найдем высоту цилиндра:
               S = 2πR(R+H)  =>  H = S/2πR - R = S/2π(√(S/6π)) - √(S/6π) =
                                               = √(6πS)/3π
Так как:    R = √(S/6π) = √(6πS)/6π, то R = H/2