Король хочет построить 6 крепостей и соединить их прямыми дорогами так, чтобы получилось 3 перекрёстка, а на каждом перекрёстке пересекались только две дороги. возможно ли это?

По-моему возможно.
Если попробовать нарисовать прямоугольник и выделить на нем все углы(это 4 точки) и середины длин (еще две точки) - это будут крепости.
Перекрестки: на ширине посередине поставить 2 точки, соединить их - это первая прямая. На ней отметить точки пересечения с шириной (те самый две точки будут являться перекрестками) + провести отрезок, соединяя две средние крепости, т.е. точки на середине длины. Точка пересечения с первой прямой и будет третьим срединным перекрестком