Докажите,что n^2+1 делится на 3 ни при каком натуральном n

Метод математической индукции.
Разделим все числа на три части.
n= 3m n= 3m -1 n= 3m-2.
В первом случае доказательство очевидно - квадрат делится на три , квадрат плюс один нет .

Метод математической индукции.
При n = 3m-1
При m=1
2^2+1 не делится .
Пусть верно для m .
(3m-1)^2+1= 9m^2-6m+2
Докажем при m=m+1
(3(m+1)-1)^2+1=9m^2+12m+5= (9m^2-6m+2)+(18m+3)
Первая скобка не делится на три - вторая делится. Сумма не делится. По матиндукции доказано.

При n = 3m-2
1^1+1 не делится.
Пусть верно для
(3m-2)^2+1= 9m^2-12m+5
Докажем для
(3(m+1)-2)^2+1= 9m^2+6m+2= (9m^2-12m+5)+(18m-3)
Первая не делится , вторая делится - сумма не делится.
Доказано.