Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигур на доску 8×8.леня заметил что в каждом квадрате 2×2 стоит одинаковое количество фигур.а влад заметил что в каждом прямоугольнике 3×1(или1×3) стоит одинаковое количество фигур.сколько фигур было выставлено на доску? (укажите все варианты и докажите что других нет)

Разобьем доску двумя на квадраты 2x2 и на прямоугольники 1x3 (3x1) + 1 клетка), как показано на рисунке.
Пусть в каждом квадрате 2x2 ровно n фигур, а в каждом прямоугольнике 1x3 (3x1) ровно m фигур.
Тогда при первом разбиении получается (8 * 8) / (2 * 2) * n = 16n фигур, а на втором (8 * 8 - 1) / 3 * m = 21m либо 21m + 1 фигур (+1 за счет одной клетки, не попавшей ни в один из прямоугольников из 3 клеток).
Переберем все возможные значения m (0, 1, 2 и 3) и подберем для них все возможные значения n.

m = 0:
16n = 0 либо 16n = 1. Получаем n=0, а значит ни одной фигуры не выставлено.

m=1:
16n=21 либо 16n=22. Такого быть не могло (ни 21, ни 22 не делятся на 16)

m=2:
16n=42 либо 16n=43. Такого быть также не могло (ни 42, ни 43 не делятся на 16)

m=3:
16n=63 либо 16n=64, откуда n=4 и вся доска заставлена фигурами (их 64).
Больше вариантов нет.

И 0, и 64, очевидно, подходят (во всех клетках одинаковое количество фигур, а значит в любых объединениях клеток, содержащих одинаковое число клеток, содержится одинаковое количество фигур).

ответ: 0 либо 64