Диаметрами четырёх окружностей служат стороны четырёхугольник abcd. докажите что общая хорда окружностей с диаметрами ab и bc и общая хорда окружностей с диаметрами cd и da параллельны или лежат на одной прямой.

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).
EFGH - параллелограмм.
EF||GH (противоположные стороны параллелограмма)

Общая хорда двух окружностей перпендикулярна линии центров.
BK⊥EF => BK⊥GH
DL⊥GH

Хорды BK и DL перпендикулярны одной прямой, следовательно они лежат на параллельных или на одной прямой.