Можно ли представить число 2017 в виде суммы девяти натуральных чисел, любые два из которых отличаются только в последней цифре?

Да,возможно

Рассуждения таковы- число 2017 - равно сумме чисел, у которых последняя только цифра разная. Все остальные - одинаковые. 
Поделим 2017 на 9 нацело.
Получится  224.
Значит, числа будут вида 22х (таких чисел будет 9), либо 220+х, где х - разные цифры
Дальше
2017-220*9=37
Т.е 9 разных чисел от 0 до 9( т.е. одну из этого ряда нужно убрать)  должны давать в сумме 37.
Сумма чисел от 0 до 9 будет=45

45-37=8      Вот как раз эту цифру и нужно убрать.
Остальные от 0 до 9  приписать к 22х
2017=220+221+...+227+229