На доске нарисовали треугольник abc a b c со сторонами ab=9 a b = 9 , bc=8 b c = 8 , ac=5 a c = 5 . затем отметили точки d d и e e так, что ∠adb=∠bec=90∘ ∠ a d b = ∠ b e c = 90 ∘ . найдите наибольшее возможное значение длины отрезка de d e .

Рисунок где... Не нарисовал? Включай воображение :)
Геометрическое место точек Д, удовлетворяющих условию ∠ADB=90 - это окружность с центром в середине стороны AB и диаметром, равным АВ 
Геометрическое место точек Е, удовлетворяющих условию ∠BEC=90 - это окружность, построенная на стороне ВС, с центром в середине стороны и диаметром, равным её длине
Как видно, эти окружности пересекаются. 
Наибольшее возможное значение длины отрезка DE получится, если отрезок DE проходит через центры окружностей.
При этом длина DE составит сумму радиусов двух окружностей и их межцентрового расстояния.
Радиусы окружностей равны половине длины сторон, на которых они построены
межцентровое расстояние можно найти из подобия основного треугольника, и малого, образованного половинами сторон и соединяющим середины сторон отрезком. Малый треугольник ровно в два раза меньше, а значит, межцентровое расстояние тоже в два раза меньше стороны АС
Итого - максимум DE равен полупериметру треугольника АВС и численно составляет (9+8+5)/2 = 11