Кокакое наибольшее количество чисел от 1500 до 2000(включая последние числа)можно выбрать так,что сумма никаких двух из них не делится на 5.

1, 3, 4, 7, 10 - 5 чисел. 

Заметим, что если мы взяли число, дающее остаток 1 при делении на 3, то мы не можем взять число, дающее остаток 2 при делении на 3, и наоборот.
Среди чисел от 1 до 10 есть 4 числа с остатком 1 и 3 числа с остатком 2, поэтому выгоднее не брать те, что с остатком 3.

Кроме того, может быть не более одного числа, делящегося на 3, иначе сумма двух, делящихся на 3, тоже будет делиться на 3.