Корень из числа 49 можно извлечь по такой «формуле»: ? 49 = 4 + ? 9. существуют ли другие двузначные числа, квадратные корни из которых извлекаются аналогичным образом и являются целыми? укажите все такие двузначные числа.

Да, существуют: 64 и 81.
Рассмотрим все двузначные числа, являющиеся квадратами целых чисел. Корни из чисел 16, 25 и 36 не могут быть извлечены указанным так как квадратные корни из их последних цифр не являются целыми. Числа 49, 64 и 81 являются решениями.
ответ в задаче не изменится, если не требовать, чтобы корень был целым. 10a + b = a2 + 2a?b + b. Так как в левой части равенства стоит целое число, то и число, стоящее в правой части, должно быть целым. Отсюда следует, что b = 0, 1, 4 или 9, то есть a + ?b - целое число.