Доказать доказать, что сумма трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше числа 2, делится без остатка на 117.

Задание. Доказать, что сумма трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше числа 2, делится без остатка на 117.
                   Решение:
Из условия нужно доказать, что  делится без остатка на 117 при любом натуральном .
Докажем методом математической индукции.
1) Базис индукции (n=2)
При  получаем , т.е. утверждение справедливо.
2) Допустим, что и при  сумма  делится на 117.
3) Индукционный переход (n=k+1)

По предположению индукции  делится на 117.
Таким образом, сумму трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше 2, делится без остатка на 117.