Втреугольнике abc площадью ( 270 корней из 3 ) вписана окружность, которая касается сторон вс и ас в точках m и н. найдите периметр треугольника, если bм: мc = 3: 5 и aн: нc =2: 1.

Обозначим отрезки BМ и МC как  3х и 5х.
По свойству равенства двух касательных к окружности из одной точки НС = 5х, а АН = 10х (в 2 раза больше).
Аналогично ВК = 3х, а АК = 10 х.
Получили относительные значения длин сторон треугольника:
а = ВС = 8х, в = АС = 15х, с = АВ = 13х.
Найдём по формуле Герона площадь подобного треугольника со сторонами 8, 15 и 13. Р = 36, р = Р/2 = 36/2 = 18.
 S = √(18*10*3*5) = √ 2700 = 30√3 ≈ 51,96152 кв.ед.
Отношение площади треугольника АВС к подобному равно:
х² = (270√3)/(30√3) = 9.
Отсюда х = √9 = 3. Использовано свойство подобных фигур - они относятся как квадраты сходственных сторон.
Теперь находим периметр треугольника АВС:
Р = 8*3 + 15*3 + 13*3 = 24 + 45 + 39 = 108.