Требуется подключить к сети люстру с семью лампочками так, чтобы можно было зажигать любое число лампочек от одной до семи. можно ли это сделать, используя только три выключателя? а если люстра с восемью лампочками? а с девятью?

Первый выключатель включает одну лампочку, второй - 2 лампочки и третий - 4 лампочки.
Тогда: ООО - лампочки не горят
            I O O - горит одна
            O I O - горит две
            I I O   - горит три
            O O I - горит четыре
            I O I   - горит пять
            O I I   - горит шесть
            I I I     - горит семь

Если каждый выключатель рассчитан на 2 положения ("вкл.", "выкл."), то количество лампочек, которое можно включить тремя выключателями из расчета последовательного увеличения количества горящих лампочек, ограничено числом 2³-1 = 8-1 = 7.
1 обусловлена наличием положения "все выключено".

Таким образом, ни 8, ни 9 лампочек нельзя включить тремя выключателями так, чтобы соблюдалось условие последовательного увеличения горящих лампочек.
Если увеличить количество выключателей до 4-х, то количество лампочек можно увеличить до:
                                       2⁴-1 = 15
При этом на четвертый выключатель будет заведено 8 лампочек.
В этом случае можно будет включить любое количество лампочек от 1 до 15.

Вообще, для соблюдения такого условия необходимо, чтобы на каждый выключатель были подключены лампочки в количестве N = 2ⁿ, где n - количество выключателей.
Т.е. на первый: 2⁰=1, на второй: 2¹=2, на третий: 2²=4 и т.д.

Нам нужны три числа, которые по отдельности или в сумме дадут любо число от 1 до 7. Получится, если первый выключатель будет включать только одну лампу, второй будет включать сразу две лампы, третий будет включать сразу 4 лампы. Значит, можно подключить 7 лампочек. Для восьми и девяти лампочек требуется больше выключателей, чтобы выполнить это условие.