Найти частное решение дифференциального уравнения - вопрос №7707686 от zheniaKk1 29.12.2022 20:58

Question

Математика: Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка. xy + y = x + 1 ; y(1)=0

zheniaKk1 · Answer

Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решим методом Бернулли
Пусть y = uv, тогда y' = u'v + uv', получаем

$x(u'v+uv')+uv=x+1\\ \\ u(v+v'x)+u'vx=x+1$

Данный метод состоит из двух этапов :

1) v+v'x=0

Это уравнение с разделяющимися переменными.
$v'=- \dfrac{v}{x}$ отсюда $v= \frac{1}{x}$

2) Находим u

u'=x+1

Интегрируя, получаем

$u= \frac{x^2}{2} +x+C$

Тогда общее решение: $y= \frac{x}{2} + \frac{C}{x} +1$

Найдем теперь частное решение

0 = 1/2 + C + 1

C = -3/2

Частное решение имеет вид: $y= \frac{x}{2}- \frac{3}{2x} +1$

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка. xy' + y = x + 1 ; y(1)=0