Даны декартовы прямоугольные координаты вершин пирамиды а1 а2 а3 а4 найти: 1. угол α между ребрами а1 а2 и а1 а4 2. площадь s грании а1 а2 а3 3. объём v пирамиды 4. уравнение плоскости π грани а1 а2 а3 5. угол β между ребрами а1 а4 и гранью а1 а2 а3 6. уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1 а2 а3 а) а1 (2; 2 ; 10), а2 (4; -3; 15), а3 (-8; 9; 3), а4 (3; -2; 2)

Найти:

длину ребра А1А2;угол между ребрами А1А2 и А1А4;площадь грани А1А2А3;уравнение плоскости А1А2А3.объём пирамиды А1А2А3А4.

2.10. А1 ( 6; 6; 5), А2 ( 4; 9; 5), А3 ( 4; 6; 11), А4 ( 6; 9; 3).
Решение:


 

 

1. Находим длину ребра А1А2

Длина ребра А1А2  равна расстоянию между точками А1 и А2или модулю вектора . Расстояние между точкамиА1(x1;y1;z1)  и            А2 (x2;y2;z2) вычисляется по формуле:

подставим в эту формулу координаты точек и получим:
 единиц
2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4 обозначим и вычисляем по формуле:
;
где  = ; = ; 
находим координаты векторов, для этого вычитаем из координат конца координаты начала :


подставляем координаты векторов в формулу и считаем cos?:
;
 (градусов).
3. Площадь грани (треугольника) А1А2А3  находим используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю их векторного произведения. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:

 
Сначала находим координаты векторов:

находим их произведение: 

и вычисляем площадь грани:
 кв.единиц

4. Уравнение плоскости A1A2A3 найдем как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A1; A2иA3:


подставим координаты точек A1; A2иA3 .

вычислив определитель матрицы получаем уравнение:
  сокращая уравнение на 6 получим уравнение плоскости:  
5. Объем пирамиды A1A2A3A4 равен одной шестой смешанного произведения трех векторов модуль которого числено равен объему праллелепипеда, построенного на этих векторах.
Выразим произведение трех векторов через координаты сомножителей:


 
составим из координат векторов и решим матрицу:
 куб.единицы

ответы:

длина ребра А1А2  равна единиц.угол между ребрами А1А2 и А1А4:(градусов).площадь грани А1А2А3  кв.единицуравнение плоскости А1А2А3: объём пирамиды А1А2А3А4 равен 4 куб.единицы.