:у бабушки было какое-то количество конфет, которое она решила поделить между внуками. если бы было на 15 конфет больше, то все конфеты бы поделились поровну, если бы было на 9 конфет больше, то одна конфета была бы лишняя. вопрос: сколько внуков было у бабушки?

конфет ? к.
добавим 15к. будет всем поровну
добавим 6к. останется 1к.
внуков ? в.
Решение.
1.   А р и ф м е т и ч е с к и й   с п о с о б.
     Прочитаем внимательно условие: "Добавили 9 одна конфета при дележе осталась".
15 - 9 = 6 (к.) --- столько еще нужно конфет добавить к 9 (а значит, и к остатку от деления), чтобы делилось поровну, т.к. при добавленных 15 конфетах по условию остатка не будет.
 6 + 1 = 7 (в .) ---получат еще по одной конфете, когда вместо 9 будет добавлено 15 конфет
ответ: 7 внуков.

Примечание: У бабушки может быть 6 + 7n конфет, где n - число натурального ряда.
Проверка:
Например, (n=0) 6 конфет:  6+15 = 21;   21:7=3; 6+9=15: 15:7=2(1ост.)  
или (n=2) 20 конфет 20+15 = 35;  35:7=5;  20+9 = 29; 29:7 = 4(ост.1)
2.  А л г е б р а и ч е с к о е
К число конфет, которое было;
В число внуков
     Запишем условие в виде двух уравнений и вычтем одно уравнение из другого
 _  К + 15 = аВ
     К + 9 = бВ +1
15 - 9 = аВ - бВ -1
7 = В(а-б)
    Поскольку число 7 простое, и В, а и б - целые числа, то равенство может выполняться при 1 внуке, тогда (а-б) будет 7;  или при 7 внуках, (а-б)=1. Но внуков больше, чем 1, тк. остаток 1  при делении в случае добавления 9 конфет должен быть меньше делителя - числа внуков.
ответ: 7 внуков.