Ольга анатольвена написала на листике число 20.двадцать три ученика листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или вычитает 1, как он хочет.может ли в итоге получиться 10?

Я думаю то что может, если 23 человека

Итак, чтобы получить число десять нужно чтобы общая сумма всех тех чисел которые запишут ученики равнялась -10
20 - 10 = 10
Посмотрим, сможет ли выполняться это условие, при наличии 23 учеников:
Пусть x - число поставивших +1
тогда х+10 - число учеников поставивших -1
тогда х+х+10 - всегда четное число, а у нас 23 ученика  - нечетное число. Отсюда следует, что в итоге 10 никак не может получиться. 

ответ: нет