34 ! отрезок af биссектриса треугольника abc точка p лежит на стороне ab так, что ap=pf. докажите что pfiiac, и вычислите длину отрезка pf если ac=6см и bf: fc=2: 1

AP=PF⇒ΔAPF равнобедренный, ∠PAF=∠PFA⇒∠PFA=∠CAF,  а эти углы являются внутренними накрест лежащими при пересечении AC и PF прямой AF. Следовательно, выполнены условия признака параллельности прямых PF и AC. А раз эти прямые параллельны, треугольники ABC и PBF подобны (если учительница не верит Вам, сошлитесь на равенство углов BFP и BCA как соответственных при пересечении параллельных прямых PF и AC прямой BC, а также на то, что у этих треугольников угол B общий; этого достаточно для подобия треугольников). 

А теперь все просто: у подобных треугольников совпадают отношения соответственных сторон: AC:PF=CB:FB=(2+1):2=3:2⇒
PF=2AC/3=4