Почему (а: b)+(c: d)=(ad+cb): bd т.е. почему мы складываем дроби именно таким вот образом подробнее.

Для сложения дробей с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю.
Очевидно, что для дробей a/b  и  c/d  общим знаменателем будет bd
Для сохранения значения дробей нужно домножить числитель каждой из них на недостающую величину.
Для дроби  a/b  такой величиной будет d, и дробь приобретет вид  ad/bd.
Для дроби  c/d  такой величиной будет b, и дробь приобретет вид  cb/db
Так как значения дробей не изменились (при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число), и обе дроби теперь имеют общий знаменатель bd, - мы можем их сложить:
       a/b + c/d = ad/bd + cb/db = (ad+cb)/bd

Таким  образом мы приводим оба слагаемых  к общему знаменателю. Тогда числитель суммарной дроби равен сумме числителей слагаемых. А знаменатель будет общий. А приводим дроби к общему знаменателю как раз для того, что бы так по простому найти их сумму или разность.