Имеется много равных параллелограммов. в углах каждого из них в произвольном порядке расставлены числа 1, 2, 3 и 4. параллелограммы сложили в стопочку и посчитали сумму чисел, попавших в каждый из четырех углов стопочки. может ли случиться так, что а) в каждом углу стопочки сумма равна 2004? б) в каждом углу стопочки сумма равна 2005?

Заметим, что сумма чисел на каждом параллелограмме равна 1+2+3+4=10. Поэтому сумма чисел на всех параллелограммах стопочки делится на 10. Если в каждом углу стопочки сумма равна 2004, то сумма всех чисел равна 2004*4=8016, что невозможно, поскольку она не делится на 10.

Покажем, что сумма чисел в каждом углу стопочки может быть равна 2005. В этом случае в стопочке лежит 2005*4/10=8020/10=802 параллелограмма. Разобьем параллелограммы на 802/2=401 пару, пусть на параллелограмме из первой пары цифры стоят в порядке 1,4,2,3, а на параллелограмме из второй пары цифры стоят в порядке 4,1,3,2. Тогда в каждом углу у каждой пары сумма чисел равна 5, а в каждом углу стопочки сумма чисел будет равна 401*5=2005, что и требовалось.