Существует ли треугольник abc, в котором медианы ad и ce удовлетворяют неравенствам ad< 1/2 bc, ce< 1/2ab

Нет, такого треугольника быть не может, потому что не может быть треугольника с двумя тупыми углами. Объясняю.

Рассмотрим окружность с диаметром BC; центр ее находится в точке D. Поскольку  AD<радиуса этой окружности, точка A лежит внутри круга, а тогда угол BAC больше 90°. Аналогично угол ACB больше 90°