Пошаговое объяснение:
Определение бета-функции:
Подставляем:
Делаем замену 
:
![\displaystyle\dots=\lim_{x\to\infty}\int_0^1x^\alpha u^{1-1/x}(1-u^{1/x})^{\alpha-1}\frac{u^{1/x}\,du}{ux}=\\=\lim_{x\to\infty}\int_0^1\left[x(1-u^{1/x})\right]^{\alpha-1}\,du=\int_0^1\left[\lim_{x\to\infty}\frac{1-u^{1/x}}{1/x}\right]^{a-1}du=\dots](/tpl/images/0698/5454/52f55.png)
Посмотрим на предел поближе:
Вносить предел под знак интегрирования было можно: легко проверить, что при убывании y функция под знаком предела монотонно стремится к предельной функции, которая непрерывна на (0, 1).
Осталось сделать замену 
и получится определение гамма-функции:
![\displaystyle\dots=\int_0^1\left[-\ln u\right]^{a-1}du=\int_0^\infty v^{a-1}e^{-v}\,dv](/tpl/images/0698/5454/fd8c3.png)
