Существуют ли такие натуральные числа m, n, k, что все три числа m^2+n+k, n^2+k+m, k^2+m+n являются квадратами натуральных чисел?

Пусть, не нарушая общности,

Тогда

С другой стороны, т.к. числа натуральные,

- последовательные натуральные числа. По условию - полный квадрат. Тогда получается, что он "зажат" между квадратами двух последовательных натуральных чисел, что, очевидно, невозможно. Противоречие. А значит таких натуральных чисел не существует.