Диагонали граней почтового ящика равны 4 , 6 и 7 дециметрам. поместится ли мяч диаметром 2 дециметра в такой ящик?

Не поместится..))

Учитываем, что ящик представляет собой прямоугольный параллелепипед с размерами: a - ширина, b - глубина и с - высота
Берем меньшую диагональ d₁ = 4. Очевидно, что эта грань является верхней (нижней) и один из ее размеров b - глубина почтового ящика, которая нас и интересует, как минимальное измерение ящика.

Тогда: a² + b² = 4²
            a² + b² = 16
          
Вторая грань (боковая):  d₂ = 6       b² + c² = 6²  
Третья грань (передняя): d₃ = 7       a² + c² = 7²  

{a² + b² = 16
{b² + c² = 36
{a² + c² = 49    (3)

{a² = 16 - b²    (1)
{c² = 36 - b²    (2)

Подставим (1) и (2) в (3): 16 - b² + 36 - b² = 49
                                          2b² = 3
                                           b = √1,5 ≈ 1,224 (дм)
                                           a = √14,5 ≈ 3,807 (дм)
                                           с = √34,5 ≈ 5,873 (дм)

Так как минимальное измерение почтового ящика меньше 2 дм, то мяч такого диаметра не поместится в данном ящике по глубине.

Впрочем, мячи, особенно резиновые, как известно, легко сжимаются..))

ответ: не поместится (без сжатия).