10 школьников на олимпиаде решили 35 , причём известно, что среди них есть школьники которые решили ровно одну , школьники , которые решили две , и школьники, которые решили ровно три . докажите, что есть школьник который решил не меньше пяти .

Представим, что по минимуму 1 человек решил одну задачу, 2 человека решили по 2 задачи (написано "школьники") 1+2*2=5 задач. Максимум 7 школьников решили по 3 задачи 3*7=21. Итого: 5+21=26 задач. 35-26=9 задач осталось раздать тем ученикам, что решили по 3. 9-7=2 задачи осталось раздать тем ученикам, что уже решили по 4 задачи. Значит, минимум 2 человека решили по 5 задач

Возьмём хотя бы по одному школьнику который решили 
1 , 2  , 3 задачи 
1+2+3=6 задач было решено ними 
35-6=29
3+1(школьник которого используем в уравнениях ) = 4 школьника 
10-4=6 школьников 
Прогоняем все варианты 
1)(29-1)/6=4.8 , значит как минимум 4 ученика решило все 5 задач 
2)(29-2)/6=4.5 , значит как минимум 3 ученика решило все 5 задач 
3)(29-3)/6=4.3 , значит как минимум 2 ученика решило все 5 задач 
4)(29-4)/6=4.1 , значит как минимум 1 ученик решил все 5 задач