На северо-восточной олимпиаде было предложено 5 . десять школьников решили 35 , причем известно, что среди них есть хотя бы один школьник, решивший ровно одну , хотя бы один школьник решивший ровно две и хотя бы один школьник решивший ровно три . докажите, что есть хотя бы один школьник, решивший все 5 .

Элементарно. Даже если 3 школьника решили (на троих) всего 6 задачь, то на оставшихся приходится 29. И если 6 школьников решат всего по 4 задачи, то шестому, полюбому, придётся решать 5.
Я первый ответил, гони :)))

Решение такое: для начала нужно выполнить, так сказать, "обязательную программу" - найти, а точнее, убрать тех школьников, про которых нам уже известно. То есть, из 35 задач отнимаем 1+2+3 - задачи, решены ими суммарно, а из 10 школьников - трех. Остается (35 - 6 = 29) задач на (10 - 3 = 7) школьников. Продолжаем рассуждать от противного - "Если ни один школьник не решил пяти задач, то решенный максимум, соответственно, четыре". Умножаем 7 на 4 и получаем (7 × 4 = 28). Отнимем полученное от 29, и получим 1 в остатке, а кому из школьников его не прибавьте - получится 5. Значит изначальные условия неверны. Вот и доказательство.