На столе лежат 25 камешков. два игрока по очереди берут 1 или 2 камешка. проигравшим считается тот, кто возьмёт со стола последние камешки. кто выиграет при правильной игре?

Стратегия первого: для начала он разбивает 25 камешков на кучки по 1 и по 2. Так, 25=12*2+1, так что он мысленно (или непосредственно раскладывает) разбивает все камешки на 12 пар и 1 камешек. Пусть - это количество групп по одному камешку, а - соответственно по два. Назовем разбиение хорошим, если нечетно. Если в некоторый момент времени , то первый всегда может менять четность суммы , убирая один камешек из групп по одному камешку или два камешка из групп по двое и сохранять ее, убирая один камешек из групп по двое. Если и игра еще не окончена, то первый опять мысленно разбивает все камешки на группы по одному и по двое. Стратегия первого будет заключаться в том, чтобы каждый раз после его хода разбиение было хорошим, что, как мы показали, всегда возможно.