Даны координаты четырёх точек А(1;-2;1), B(0;1;2), C(-2;1;3), D(-1;3;2).
9) Векторы: АВ = (-1; 3; 1), СД = (1; 2; -1).
Их векторное произведение равно:
i j k | i j
-1 3 1 | -1 3
1 2 -1 | 1 2 = -3i + 1j - 2k - 1j - 2i - 3k = -5i + 0j - 5k.
Получили вектор (-5; 0; -5).
Смешанное произведение полученного вектора с заданным (4i - 2j + 1k) равн:
(-5; 0; -5) x (4 - 2 + 1) = (-20; 0; - 5).
10) Объём пирамиды V = (1/6*|(AB x AC)|*AD.
Вектор АС = (-3; 3; 2), вектор: АВ = (-1; 3; 1).
(AB x AC) =
i j k | i j
-1 3 1 | -1 3
-3 3 2 | -3 3 = 6i - 3j - 3k + 2j - 3i + 9k = 3i - 1j + 6k.
Получили вектор (3; -1; 6).
Вектор АД = (-2; 5; 1).
V = (1/6)*|(3*(-2) + (-1*5) + 6*1)| = 5/6.
Так как эти прямые скрещивающиеся, это видно если нарисуешь рисунок, то находим прямую которая будет параллельна прямой АА1 и пересекать прямую BD1 - это будет прямая ВВ1
Рассмотрим треугольник ВВ1D1:
В1D1 ⊥ ВВ1 ( по свойствам куба) (перпендикулярны)
значит это катеты этого треугольника
Пусть ребро куба равно а, тогда ВВ1 =а, В1D1=а*√2 (КАК ДИАГОНАЛЬ КВАДРАТА), ВD1=а*√3( как диагональ куба)
cos∠BВ1D= BВ1/ВD1=а/а*√3=1/(1/√3)=√3 (как отношение прилежащего катета BВ1 к гипотенузе ВD1)
Пошаговое объяснение:
