Найдите наименьшую возможную сумму 10 различных натуральных чисел, таких, что произведение любых из них - чётно, а сумма всех 10 чисел - нечётна

Нечетное число - единственное среди 10 чисел, иначе можно найти нечетное произведение. Тогда минимальную сумму дадут:
1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,16,18