Запись девятизначного числа, делящегося на 37, разделили на две части и переставили
эти части друг с другом. обязательно ли полученное девятизначное число будет делиться
на 37 ? (конечно, с пояснениями, а не один ответ).

Пусть наше число

Тогда после перестановок могут получиться числа

Как можно заметить, каждое из этих чисел сравнимо по модулю 37 с одним из трех чисел:

Обозначим

Тогда, по условию,

Заметим, что сумма этих трех возможных остатков равна , а значит кратна 37. Тогда, если , то

Значит

Тогда

А значит . Тогда, с учетом ограничений, .

А значит все числа, получающиеся с таких перестановок, кратны 37.

ответ: Да