Существует ли такое натуральное число n, что n+n^2+n^3++n^2009=(n+1)^2010

Нет.

n = 1 - не решение (проверяется подстановкой)

Левая часть равна n (1 + n + n^2 + ... + n^2008) и поэтому делится на n, а правая часть - нет (n и (n + 1) взаимно просты).