При каком значении параметра a сумма квадратов корней уравнения x^2+(2a-5)*x+(a^2-5a+6)=0 минимальна?

По теореме Виета
х₁+х₂=-(2а-5)
х₁х₂=а²-5а+6

х₁²+х₂²=(х₁+х₂)²-2х₁х₂=(5-2а)²-2(а²-5а+6)=25-20а+4а²-2а²+10а-12=
=2а²-10а+13 =( выделяем полный квадрат)=
=2(а-(5/2))²+13-(25/2)=2(а-2,5)²+0,5
при а=2,5

График этой функции - квадратная парабола. Поскольку коэффициент при квадрате х положительный, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, эта функция имеет минимум.
Выделим полный квадрат.

Легко видеть, что минимум достигается при a=2,5