При каком p вершина параболы y = x^ 2 + px + 58 находится на расстоянии 10 от начала координат, если известно, что вершина параболы лежит в третьей четверти.

1) Координаты вершины параболы - точка (x', y'):

2) Т.к. вершина параболы - в III четверти, то x'<0 и y'<0, т.е.

3) Расстояние до начала координат равно 10 и задается уравнением:

Замена 
t + (58 - t)² - 100 = 0
t² - 115t + 3264 = 0
D = 13225-13026 = 169
t=51 или t=64
Требованию t>58 удовлетворяет t=64, поэтому

Т.к. , то р=16.
ответ: р=16.