Решить дифференциальное уравнение y''-2y'+y=32e^5x, y(0)=0, y'(0)=2

Характеристическое уравнение: k² - 2k + 1 = 0
(k - 1)² = 0
k₁ = k₂ = 1

Решение ищем в виде: y = C₁eˣ + C₂xeˣ + C₃e⁵ˣ.

y' = C₁eˣ + C₂eˣ + C₂xeˣ + 5C₃e⁵ˣ = (C₁ + C₂)eˣ + C₂xeˣ + 5C₃e⁵ˣ
y'' = (C₁ + C₂)eˣ + C₂eˣ + C₂xeˣ + 25C₃e⁵ˣ = (C₁ + 2C₂)eˣ + C₂xeˣ + 25C₃e⁵ˣ

Подставляем в исходное уравнение:
(C₁ + 2C₂)eˣ + C₂xeˣ + 25C₃e⁵ˣ - 2(C₁ + C₂)eˣ - 2C₂xeˣ - 10C₃e⁵ˣ + C₁eˣ + C₂xeˣ + C₃e⁵ˣ = 32C₃e⁵ˣ

25С₃ - 10С₃ + С₃ = 32
С₃ =2

y (0) = C₁ + C₃ = 0
y' (0) = C₁ + C₂ + 5C₃ = 0

С₃ =2
C₁ + C₃ = 0
C₁ + C₂ + 5C₃ = 0

С₃ = 2
C₁ + 2 = 0
C₁ + C₂ + 10 = 0

С₃ = 2
C₁ = -2
C₂ = -6

y (x) = -2eˣ - 6xeˣ + 2e⁵ˣ