Среднее арифметическое четырёх чисел равно 60. если вычеркнуть одно из этих чисел, то среднее арифметическое не изменится; если вычеркнуть другое, среднее арифметическое увеличится на 1; если вычеркнуть третье - среднее арифметическое увеличится на 2. если вычеркнуть четвёртое число, то среднее арифметическое будет равно. 1) такие числа не существуют. 2) 57 3) 12

Если вычеркнуть четвёртое число, то среднее арифметическое будет равно 57.
Почему? 
Обозначим:  А+Б+В+Г=240.

"Если вычеркнуть одно из этих чисел (А), то среднее арифметическое не изменится" - т.е. (А+Б+В+Г)/4=(Б+В+Г)/3.
 Значит, поскольку сумма всех четырех чисел = 240, то А=60 и среднее арифметическое трех чисел = 60, а сумма (Б+В+Г)=180. 

Если сразу это "не видно", то можно это и уравнением решить, если привести к общему знаменателю: 4Б+4В+4Г=3А+3Б+3В+3Г и перенести в левую часть: (4Б-3Б)+(4В-3В)+(4Г-3Г)- 3А=0 (уравнение №1) . 
При этом по условию А+Б+В+Г=240, откуда  Б+В+Г=240-А(уравнение №2). 
Имеем, что из №1: Б+В+Г=3А и из №2:  Б+В+Г= 240-А
Значит, 3А=240-А   и А=60

"Если вычеркнуть другое (Б), среднее арифметическое увеличится на 1", т.е. (А+В+Г)/3=1+(А+Б+В+Г)/4.
Значит, Б=57. 

Если сразу это "не видно", то можно это и уравнением решить, если привести к общему знаменателю: 4А+4В+4Г=12+3А+3Б+3В+3Г и перенести в левую часть: (4А-3А)+(4В-3В)+(4Г-3Г)-12-3Б=0 (уравнение №3) . 
При этом по условию А+Б+В+Г=240, откуда  А+В+Г=240-Б (уравнение №4). 
Подставим в №3 значение из №4. Имеем, что 240-Б-3Б-12=0, откуда  4Б=228 и Б=57.

"Если вычеркнуть третье (В) - среднее арифметическое увеличится на 2", т.е. (А+Б+Г)/3=2+(А+Б+В+Г)/4 и значит, В на 3*2 единицы меньше, чем А, и В=54.

Если сразу это "не видно", то можно это и уравнением решить, если привести к общему знаменателю: 4А+4Б+4Г=24+ 3А+3Б+3В+3Г и перенести в левую часть: (4А-3А)+(4Б-3Б)+(4Г-3Г)-24-3В=0  или А+Б+Г-3В=24 (уравнение №5) . 
А из уравнения №3: А+В+Г-3Б=12 

Вычтем одно из другого: 4Б-4В=24-12 и В=(4Б-12)/4=(4*54-12)/4=54.

ри этом по условию А+Б+В+Г=240, откуда  А+В+Г=240-Б (уравнение №4). 
Подставим в №3 значение из №4. Имеем, что 240-Б-3Б-12=0, откуда  4Б=228 и Б=57.

"Если вычеркнуть четвёртое число, то среднее арифметическое будет равно - ?"
(А+Б+В)/3= (60+57+54)/3=57.