Бывает ли треугольник, который можно разрезать на два равнобедренных треугольника, причём более чем одним получаются разные наборы частей)? пример такого треугольника или докажите, что их не существует.

Да, такой треугольник существует.
Это прямоугольный треугольник АВС, в котором меньший катет ВС  имеет длину а,  больший катет  АС имеет длину а+а√2 , где а√2 - гипотенуза равнобедренного треугольника  СВК с катетами, равными а.
На два равнобедренных его можно разделить двумя см. рисунок)