\log _{2x}^2\left(4x^3\right)-2=\log _{2x}\left(4x\right)

Добрый день! Я рад помочь вам с решением задачи. Давайте разберем ее шаг за шагом.

Итак, у нас дано уравнение:

\log _{2x}^2\left(4x^3\right)-2=\log _{2x}\left(4x\right)

Первым шагом, давайте введем замену \log _{2x}\left(4x\right)=a. Тогда уравнение примет вид:

\log _{2x}^2\left(4x^3\right)-2=a

Затем, используем свойство логарифма: \log _a\left(b^c\right)=c\log _a\left(b\right). Применим это свойство к левой части уравнения:

2\log _{2x}\left(4x^3\right)-2=a

Перепишем левую часть с использованием логарифма по основанию 10:

2\frac{{\log \left(4x^3\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-2=a

Теперь, подставим замену a=\log _{2x}\left(4x\right) в полученное выражение:

2\frac{{\log \left(4x^3\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-2=\log _{2x}\left(4x\right)

Чтобы продолжить решение, нам необходимо избавиться от логарифмов. Для этого воспользуемся следующим свойством: \log _a\left(b\right)=c \Leftrightarrow a^c=b.

Представим левую часть уравнения в виде степени 2:

2^{\left(2\frac{{\log \left(4x^3\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-2\right)}=4x

Теперь, рассмотрим правую часть уравнения. Заметим, что \log _a\left(b^c\right)=c \Rightarrow a^c=b. Поэтому, можно переписать правую часть уравнения в виде степени:

\left(2x\right)^a=4x

Так как основания у левой и правой сторон уравнения равны, то получаем равенство показателей степени:

2^{\left(2\frac{{\log \left(4x^3\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-2\right)}=\left(2x\right)^a

Используя свойство степеней: a^{bc}=\left(a^b\right)^c, можно переписать выражение следующим образом:

2^{2\left(\frac{{\log \left(4x^3\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-1\right)}=\left(2x\right)^a

Теперь, сравниваем показатели степеней:

2\left(\frac{{\log \left(4x^3\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-1\right)=a

Подставляем значение замены a:

2\left(\frac{{\log \left(4x^3\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-1\right)=\log _{2x}\left(4x\right)

Теперь, продолжим решение, избавляясь от дроби в левой части уравнения:

2\frac{{\log \left(4x^3\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-2=\log _{2x}\left(4x\right)

Приводим общий знаменатель в левой части уравнения:

2\frac{{\log \left(4x^3\right)-\log \left(2x\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-2=\log _{2x}\left(4x\right)

Сокращаем дробь на 2:

\frac{{\log \left(4x^3\right)-\log \left(2x\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-1=\frac{{\log \left(4x\right)}}{{\log \left(2x\right)}}

Теперь, объединяем два логарифма в числителе дроби:

\frac{{\log \left(\frac{{4x^3}}{{2x}}\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-1=\frac{{\log \left(4x\right)}}{{\log \left(2x\right)}}

Получаем следующее уравнение:

\frac{{\log \left(2x^2\right)}}{{\log \left(2x\right)}}-1=\frac{{\log \left(4x\right)}}{{\log \left(2x\right)}}

Избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на \log \left(2x\right):

\log \left(2x^2\right)-\log \left(2x\right)=\log \left(4x\right)

Применим свойства логарифмов: \log a - \log b = \log \left(\frac{{a}}{{b}}\right):

\log \left(\frac{{2x^2}}{{2x}}\right)=\log \left(4x\right)

Сократим дробь в логарифме:

\log \left(x\right)=\log \left(4x\right)

Теперь, если значения логарифмов равны, то и аргументы этих логарифмов должны быть равны:

x=4x

Решим это уравнение:

4x-x=0

3x=0

x=0

Таким образом, решение данного уравнения равно x=0.

Окончательный ответ: x=0.