На острове было 2015 жителей. некоторые из них рыцари, а остальные лжецы. рыцари говорят только правду, а лжецы всегда лгут. каждый день один из жителей произносил: "когда я уеду, на острове станет поровну рыцарей и лжецов". сказав это, он покидал остров. никто из них не возвращался, и после 2015 дней на острове никого не осталось. сколько рыцарей было на острове сначала?

Если было поровну рыцарей и лжецов -значит их было четное количество.
Когда первый из 2015 сказал: Когда я уеду, на острове станет поровну рыцарей и лжецов, он мог оказаться рыцарем, т.к. после его уезда оставалось четное кол-во человек (но мог быть и лжецом). Когда уезжал 2 человек и произносил эту фразу -он определенно был лжец, т.к. после его уезда оставалось 2013 человек-т.е. нечетное кол-во. Соответственно, каждый человек, который уезжал четным был лжецом. Выясним сколько их было:
2, 4, 6, , 2014
2014=2+(n-2)2
2012=(n-1)2
n-1=1006
n=1007 -лжецов было точно.
Пройдемся от начала, с новой инфой, что лжецов было ≥1007.

1 случай. Если первый уезжающий -рыцарь, тогда из 2014 поровну рыцарей и лжецов, а также лжецов ≥1007, значит осталось 1007 рыцарей и 1007 лжецов.
Тогда с учетом первого рыцаря на острове было: 1007+1=1008 рыцарей.

2.Случай. Если первый уезжающий -лжец. из 2014 человек лжецов>1007,  а рыцарей <1007. Всего лжецов уже >1008 (из 2015 человек)
3ий уезжающий оставил после себя 2012 человек 
т.к. лжецов уже >1008, поровну уже ни при каком случае не получится. 
(т.к. чтобы из 2012 чел было поровну и л и р, их должно быть по 1006, из 2010 -1005 и меньше,)
Таки образом, последний человек который был 2015 по счету -был рыцарем, так как после него осталось равное кол-во лжецов и рыцарей =0)
итого : 2014 лжецов и 1 рыцарь.