На экзамене по десяти школьникам был предложен тест, состоящий из нескольких вопросов. известно, что любые пять школьников ответили вместе на все вопросы (то есть на каждый вопрос хоть один из них дал правильный ответ), а любые четыре — нет. при каком минимальном количестве вопросов это могло быть?

Возьмём любую четвёрку школьников. Тогда в сумме они не знают ответов минимум на 1 вопрос, на который знают ответ каждый из оставшихся 6, т.к. с любым из них эти четверо составляют пятёрку учеников, в сумме знающих все правильные ответы. Для каждой шестёрки этот вопрос разный. Значит нужно посчитать к-во сочетаний из 10 по 6.

Это и есть минимальное количество вопросов.