Из пункта а в 6 ч утра вышел турист.вечером он дошёл до пункта в и,переночевав, снова в 6 ч утра отправился в пункт а.докажите, что на маршруте есть такой пункт с, в котором турист оказался в одно и то же время как в первый ,так и во второй день (скорость туриста на маршруте могла меняться).

Обозначим весь ПУТЬ=S, а СКОРОСТЬ на обратном пути в 2 раза меньше.
Тогда надо решить два уравнения - путь вперед и путь обратно за одно и тоже время.
ПУТЬ вперед S1 = V1*t, ПУТЬ назад S2=V2*t и всё это равно РАССТОЯНИЮ АВ.
Имеем (V1+V2)*t =S - идет НАВСТРЕЧУ (обратно, как будто ДВА вышли одновременно). 
Вот и находим ВРЕМЯ. где они были в ОДНО И ТОЖЕ ВРЕМЯ.
t= S/ (V1+V2). - ВСЕГДА будет время- всегда будет ТОЧКА встречи.
А вот положение этой точки будет зависеть от отношения скоростей.