1.измерения прямоугольного параллелепипеда равны: 1)3 см, 2)2 см, 3)6 см найдите: а)длину диагонали параллелепипеда б)длину диагонали наименьшей грани в)площадь наибольшей грани г)площадь наименьшей грани д)площадь поверхности параллелепипеда 2.большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна d и образует угол a : с основанием призмы найдите: 1)высоту призмы 2)большую диагональ основания 3)сторону основания призмы 4)площадь основания 5)площадь наибольшего диагонального сечения 6)площадь боковой поверхности призмы 3.в основании прямого параллелепипеда лежит ромб.высота параллелепипеда равна 8 см,диагонали параллелепипеда равны: 17 см и 10 см найдите: 1)длинну большей диагонали основания 2)меньшую диагональ основания 3)сторону основания параллелепипеда 4)площадь основания параллелепипеда 5)площадь боковой поверхности параллелепипеда 6)угол наклона большей диагонали параллелепипеда к площади основания 4.боковое ребро призмы равно 10 см,а в основании лежит: прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см. найдите: 1)длину третьего ребра основания 2)площадь основания 3)площадь боковой поверхности призмы 4)площадь полной поверхности призмы 5)площадь сечения,проведенного через боковое ребро и середину гипотенузы 6)диагональ наибольшей боковой грани

1. a=2,b=3,c=6
a) D= - Диагональ параллелепипеда.
б) Наименьшая грань образована меньшими ребрами: - Её диагональ.
в) Наибольшая грань образована большими ребрами: 3*6=18 - Её площадь.
г) Наименьшая грань образована меньшими ребрами: 2*3=6 - Её площадь.
д) Площадь поверхности - сумма площадей граней: (2*3+2*6+3*6) * 2 = (6+12+18)*2=36*2=72.

2. d-диагональ призмы, a - угол между d и основанием.
а) Высота призмы равна проекции её диагонали на боковое ребро: h=d*sin(a)
б) Диагональ основания призмы равна проекции её диагонали на основание: f=d*cos(a)
в) Поскольку основанием призмы является правильный шестиугольник, все углы равны 120 градусам. Если провести диагональ f, она разделит углы пополам, то есть по 60 градусов. Если провести 3 таких диагонали, получим 6 равносторонних треугольников со стороной равной длине ребра и f будет равна удвоенной стороне основания, т.е. g=f/2
г) Поскольку основанием призмы является правильный шестиугольник, его площадь будет равна , где g - сторона основания.
д) Наибольшее диагональное сечение призмы будет опираться на большую диагональ основания f. Поскольку призма является правильной, сечение будет иметь форму прямоугольника. Её площадь вычисляется по формуле: f*h=dsin(a)*dcos(a)=d^2*sin(2a)/2
е) Площадь боковой поверхности правильной призмы равна периметру основания на высоту: 6*g*h = 6f/2*dsin(a)=dsin(a)*dcos(a)/2=3d^2*sin(2a)/2.

3.
а) Большая диагональ параллелепипеда образует с диагональю основания и высотой прямоугольный треугольник. Диагональ параллелепипеда является в этом треугольнике гипотенузой. - Большая диагональ основания
б) Аналогично, меньшая диагональ основания будет равна .
в) Поскольку в основании лежит ромб, его диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Сторона основания параллелепипеда в этом треугольнике является гипотенузой. - длина стороны основания.
г) Поскольку основание является ромбом, площадь его основания равна половине произведения диагоналей: 6*15/2=45
д) Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту: 17*4*8=544.
е) Большая диагональ параллелепипеда образует прямоугольник со сторонами 8,15,17. Нужно найти угол между диагональю параллелепипеда и основанием, то есть сторонами треугольника равными 15 и 17. В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
cos(a)=15/17.
a=28 градусов.

4.
а) Поскольку в основании призмы лежит прямоугольный треугольник, и нам известны два его катета, гипотенуза будет равна
б) Поскольку в основании призмы лежит прямоугольный треугольник, площадь призмы будет  равна площади прямоугольного треугольника, то есть половине произведения катетов: 12*5/2=30.
в) Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: (5+12+13)*10=300.
г) Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания: 300+2*30=360.
д) Сечение, проведенное через боковое ребро и середину гипотенузы, будет опираться на медиану основания, проведенную к гипотенузе.
Рассмотрим треугольник, сторонами которого является меньший катет основания, медиана и половина гипотенузы. 2 стороны равны 5 и 6.5.
Для нахождения 3 стороны воспользуемся формулой
Косинус угла a равен 5\13
Подставим:
=6.5.
Площадь сечения будет равна 6.5*10=65.
е) Наибольшая боковая грань призмы опирается на гипотенузу прямоугольного треугольника, лежащего основания. Её диагональ равна