Обязательно ли среди двадцати монет ( достоинством 1,2,3,5) найдётся семь монет одинакового достоинства?

Не обязательно. Может и не найтись, например тогда, когда монет каждого достоинства ровно по пять:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5