Существует ли целое число,меньшее любого натурального числа?

Да! 
Натуральными называют числа, используемые при счете предметов. То есть, это целые положительные числа. Отрицательные и нецелые числа — к натуральным не относятся. 

Да существует. Так как целые числа - это натуральные числа, им противоположные и 0, а значит: например -1 < 1. Так как натуральный числа - это числа от 1 до бесконечности.