Трое мальчиков участвуют в велосипедных гонках. петя стартовал первым .миша вторым. дима третьем. положение пети в гонке менялось 8 раз ,а положение димы три раза. сколько раз положение миши менялось?

Рассмотрим все варианты.
У ПЕТИ 8 СМЕН у ДИМЫ 3 СМЕНЫ.

Д М П   СТАРТ
М Д П   Первая смена М -1   Д - 1 П - 0
Д М П Вторая смена  М- 2 Д - 2 П- 0
(Если дальше снова поменять М и Д то Дима израсходует все 3 смены и окажется при этом около Миши, который еще не израсходовал ни одной смены. Значит продолжение должно быть иным. А Дима Должен израсходовать свою последнюю смену на последнем шаге).
Дальше меняться должны Миша и Петя, пока Миша не израсходует все свои смены.
Д П М   Третья смена  М- 3 Д - 2 П- 1
Д М П    Четвертая смена  М- 4 Д - 2 П- 2

Д П М   Пятая смена  М- 5 Д - 2 П- 3
Д М П    Шестая смена  М- 6 Д - 2 П- 4
Д П М   Седьмая смена  М- 7 Д - 2 П- 5
Д М П    Восьмая смена  М- 8 Д - 2 П- 6
Д П М   Девятая смена  М- 9 Д - 2 П- 7
Д М П    Десятая смена  М- 10 Д - 2 П- 8

Здесь Петя израсходовал все свои смены.
Осталась только одна смена у Димы.
Значит следующий шан
М Д П Одиннадцатая смена  М-11  Д - 3 П- 8

Значит Миша сделал 11 смен положения.

Если вы проанализируете возможность другого развития событий, то увидите, что результат будет тем же самым.

Д М П
М Д П
М П Д --- дальше опять дима ждет пока  петя и миша поменяются 8 раз и в конце использует свою последнюю смену