На доске выписана последовательность из 2004 цифр. любая пара соседних цифр в этой последовательности образует двузначное число, которое делится на 17 или 23. известно, что последней цифрой является 7. найдите первую цифру.

Двузначные числа, делящиеся на 17, это 17, 34, 51, 68, 85.
Делящиеся на 23, это 23, 46, 69, 92.
Заметим, что все эти числа заканчиваются на разные цифры.
Т.к. последняя цифра 7, то перед ней может быть только 1, перед 1 может быть только 5, перед 5 - 8, перед 8 - 6
Перед 6, будет 4,
перед 4, будет 3,
перед 3,  будет 2,
перед 2, будет 9,
и опять будет 6. После этого опять процесс повторится.
В результате, конец последовательности выглядит так:
...(92346) (92346) (92346) 8517.
Таким образом, в последовательности идут группы по пять цифр (92346), и в конце идут цифры 8517. Т.к. всего 2004=5*400+4 цифры, то в последовательности укладывается ровно 400 групп по 5 цифр (92346) и плюс в конце группа 8517. Т.е. первая цифра в последовательности 9.