На доску выписывают числа, первое из которых равно 2015, а каждое следующее ровно в 13 раз больше суммы цифр предыдущего. какое число будет выписано 1000-м по счёту?

На первом месте 2015, сумма цифр 8
На втором месте 8*13 = 104, сумма цифр 5
На третьем месте 5*13 = 65, сумма цифр 11
На четвёртом месте 11*13 = 143, сумма цифр 8
Дальше числа 104, 65 и 143 будут повторяться по кругу.
104 будет стоять на втором, пятом, восьмом и так далее местах. Это можно описать формулой , где n - количество "кругов" (циклов). Проверим, может ли 104 стоять на 1000 месте:

1001 не делится на 3 без остатка, значит 104 не может быть 1000-м по счёту.
65 будет стоять на третьем, шестом, девятом и так далее местах. . Уравнение 3n=1000 так же не имеет целых корней, значит 65 не будет 1000-м по счёту.
143 будет стоять на четвёртом, седьмом, десятом и так далее местах. 

Получили целое число "кругов" (циклов).
1000-м по счёту будет стоять число 143.