Тема 1.1 развитие понятия о числе решение комплексные числа представлены в форме z1=a1+b1 i, z2=a2+b2 i. 1 изобразите на координатной плоскости числа z1, z2 и найдите: a) | z1| и | z2|; б) (z_1 ) ̅ и (z_2 ) ̅. a1=9b1=0a2=0b2=9

Основные определения и операции

Для решения задач с комплексными числами необходимо разобраться с основными определениями. Главная задача данной обзорной статьи — объяснить, что же такое комплексные числа, и предъявить методы решения основных задач с комплексными числами. Итак, комплексным числом будем называть число вида z = a + bi, где a, b — вещественные числа, которые называют действительной и мнимой частью комплексного числа соответственно и обозначают a = Re(z), b=Im(z).
i называется мнимой единицей. i2 = -1. В частности, любое вещественное число можно считать комплексным: a = a + 0i, где a — вещественное. Если же a = 0 и b ≠ 0, то число принято называть чисто мнимым.
 

Теперь введем операции над комплексными числами.
Рассмотрим два комплексных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i.

Сумма комплексных чисел — комплексное число
Разность
Произведение
Отношение

 

Рассмотрим z = a + bi.

Сопряженным к z называется комплексное число:
z1 = a1 + b1iМодулем z называется вещественно число:

 

Множество комплексных чисел расширяет множество вещественных чисел, которое в свою очередь расширяет множество рациональных чисел и т.д. Эту цепочку вложений можно рассмотреть на рисунке: N – натуральные числа, Z — целые, Q – рациональные, R – вещественные, C – комплексные.

 Представление комплексных чиселАлгебраическая форма записи.

Рассмотрим комплексное число z = a + bi, такая форма записи комплексного числа называется алгебраической. Эту форму записи мы уже подробно разобрали в предыдущем разделе. Довольно часто используют следующий наглядный рисунок