1. е^(y)y'=-x²;е^(y)*dy/dx=-x², разделим переменные. е^(y)*dy=-x²dx; ∫е^(y)*dy=-∫x²dx; ⇒е^(y)=-х³/3+с
2. y'-у/х=х*sinx
Пусть у=uv у'=u'v+uv' ; u'v+uv'-uv/x=х*sinx; u'v+u(v'-v/x)=х*sinx ; подберем v так, чтобы v'-v/x=0; тогда u'v=х*sinx ;интегрируем 1-е уравнение; ∫dv/v=∫dx/x ⇒㏑IvI=㏑IxI⇒v=x; подставляем значение v во второе уравнение, получим. u'v=х*sinx ⇒ u'*x=х*sinx du=sinx dx⇒
∫du=∫sinx dx u=cosx+c , общее решение у=uv =х*(cosx+c )
В процессе решения сокращали на х, но не потеряли решений, т.е. х=0 не входит в ОДЗ уравнения. ответ у=х*(cosx+c )
3. Составим характеристическое уравнение для данного
к²+к-2=0, корни которого легко найти по теореме, обратной теореме Виета, это -2 и 1, действительные и различные, поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь такой вид у=с₁*е⁻²ˣ+с₂*еˣ
