:в некоторых клетках доски 8х8 стоит по фишке, причём в каждой строке и в каждом столбце фишек не менее четырёх. всегда ли можно снять часть фишек так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце осталось ровно по 4 фишки?

посмотрите на шахматную доску. черные клетки это фишки

8*8=64 клетки всего

фишек 32

убрав любую мы не получим выполнение условия "в каждой строке и в каждом столбце фишек не менее четырёх".

ответ - НЕЛЬЗЯ  

p.s. исправила граматику. 

если есть шахматная доска можете убедиться, что условие не выполнится закрыв любую черную клетку листом бумаги 

Нет,нельзя.

Черные клетки- это фишки:

8 х 8=64 клеток всего

64:2=32 фишек

Таким образом,фишек 32,убрав любую мы не получим выполнение условия в каждой строке и в каждом столбце фишек не менее четырёх.